El pescador de Zipolite y la cuerda que no alcanza
Al amanecer, don Nico enrolla una cuerda de yute, áspera y salitrosa, sobre la arena negra de Zipolite, Oaxaca, a 12 metros sobre el nivel del mar. El sol apenas asoma y ya se escucha el chillido de las gaviotas. Don Nico extiende la cuerda a lo largo de la orilla, marcando cada metro con piedras blancas recogidas en la madrugada. Él quiere saber cuántos metros tiene “su” playa, pero cada vez que repite el recorrido, el resultado cambia. 540 metros, 610, 670. Nadie le ha explicado que su frustración es culpa de una paradoja matemática con nombre polaco-francés y aroma a humedad salina.
En 1967, el matemático británico Lewis Fry Richardson publicó una pregunta simple y desconcertante: ¿cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Tan obvia como engañosa. Según Richardson, la respuesta depende del tamaño de la regla con que se mida. Si usas un metro, obtienes un número; si usas una cuerda de 10 cm, otro, mucho mayor.
La costa de Oaxaca, como la de Bretaña, no se deja atrapar tan fácil. Cada ola deja nuevos pliegues, cada roca suma un giro minúsculo. El olor a salitre se mezcla con la certeza de que algo en la geometría cotidiana desafía la intuición. ¿Puede la naturaleza ser infinita en sus detalles?
Don Nico, cansado de enrollar la cuerda, mira el horizonte y se pregunta si algún día alguien medirá su playa correctamente. Lo que no sabe es que ese misterio llevó a uno de los descubrimientos matemáticos más fascinantes del siglo XX.
Mandelbrot: del Banco de Francia a la forma de una nube
En 1924, Benoit Mandelbrot nació en Varsovia, pero fue en el Banco de Francia —entre montones de datos económicos y el zumbido de máquinas de calcular— donde su obsesión floreció. Mandelbrot notó patrones extraños en los precios del algodón y en la costa de Noruega, patrones que parecían repetirse sin importar la escala observada.
En 1975, Mandelbrot publicó la obra “Les Objets Fractals” y propuso el término “fractal”. Su definición: un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Ejemplo: el helecho Nephrolepis exaltata, que crece silvestre en los cafetales de Veracruz a 780 msnm, donde cada hoja replica la forma entera de la planta, y cada folíolo repite la hoja.
“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos”, escribió Mandelbrot en 1982. La frase, citada una y otra vez, revela el escándalo: la geometría clásica, la que se enseña en pizarrones verdes, no alcanza para explicar la realidad rugosa y desordenada de la naturaleza.
El nombre de Mandelbrot quedó asociado para siempre a una imagen: un mapa negro y azul eléctrico, el famoso conjunto de Mandelbrot. Pero ese conjunto no solo es bello: es una ventana a la geometría del caos.
El conjunto de Mandelbrot, explicado sin ecuaciones (y por qué importa)
En 1980, el conjunto de Mandelbrot apareció por primera vez en una pantalla de IBM, gracias al trabajo de Robert Brooks y J. Peter Matelski. Lo que surgió fue una forma negra, con bordes infinitamente dentados, rodeada de remolinos azules y verdes. A simple vista, parece una figura de tinta derramada. Pero al acercarse con el zoom digital —cada vez más— nunca se repite igual, nunca termina.
La regla técnica: el conjunto de Mandelbrot está formado por todos los números complejos “c” para los que la secuencia z_{n+1} = z_n^2 + c no explota hacia el infinito. Puede sonar críptico, pero hay una visualización concreta. Si pintas de negro los puntos que “quedan” y de azul los que “se van”, aparece la figura. Un borde tan rugoso que, si lo intentas medir, nunca te da el mismo resultado dos veces.
En 1999, el Instituto de Matemáticas de la UNAM organizó una exposición de imágenes fractales. Un estudiante, Daniel, recuerda: “Me sorprendió que cada acercamiento era completamente distinto al anterior. Era como explorar un paisaje sin fin.”
La importancia del conjunto de Mandelbrot no está solo en la computadora: sus reglas mimetizan la manera en que la naturaleza construye costas, nubes y hojas de helecho. Los fractales no solo son curiosidades visuales: gobiernan cómo crecen las ramas de un mezquite en Sonora bajo 41°C y cómo se fractura el hielo en los picos de Iztaccíhuatl.
La dimensión fractal y la paradoja de la costa: midiendo lo imposible
En 1967, Richardson usó mapas de la costa de Gran Bretaña con diferentes reglas: una de 100 km, otra de 50 km, otra de 1 km. El resultado era inquietante: mientras más pequeña la unidad de medición, más larga la costa. Una cuerda de 1 km daba 2,800 km; una de 1 cm, cientos de miles. No era simple error: era una nueva propiedad, la dimensión fractal.
La dimensión fractal, propuesta por Mandelbrot, es un número no entero entre 1 y 2 para líneas como las costas. Por ejemplo, la costa de Noruega tiene una dimensión fractal de 1.25 según el estudio publicado en 1982 por Mandelbrot. Significa que es más que una línea, menos que una superficie.
En el Laboratorio de Matemáticas Aplicadas del IPN, la investigadora Rosaura Hernández calcula dimensiones fractales de patrones de erosión en las playas de Guerrero. Usa fotografías aéreas y software de análisis, midiendo cómo varía la longitud al cambiar la “regla digital”. El zumbido de los drones y el olor a sal húmeda acompañan la rutina diaria.
La dimensión fractal explica por qué medir la costa nunca termina y por qué la superficie de un brócoli romanesco (Brassica oleracea) en un mercado de Coyoacán parece infinita bajo la lupa. ¿Se puede aplicar esta lógica a otras formas vivas?
Fractales vivos: helechos, pulmones y el truco de la eficiencia
En los viveros de Xochimilco, la humedad levanta el aroma terroso a las ocho de la mañana. Doña Bertha, con las uñas manchadas de verde, corta una hoja de Nephrolepis exaltata y la examina. Cada fronda, cada subdivisión, sigue el mismo patrón: ramitas que parecen miniaturas de la hoja entera.
- Los helechos y su simetría: en 1988, el matemático Michael Barnsley modeló digitalmente el crecimiento de helechos usando fractales, logrando reproducir la forma real con solo cuatro reglas simples.
- Pulmones humanos: 23 ramificaciones desde la tráquea hasta los alvéolos, cada bifurcación replica la anterior. El área superficial total puede alcanzar 70 m², equivalente a una cancha de bádminton, en un espacio comprimido de 6 litros.
- Vasos sanguíneos y raíces: en 2016, el Instituto de Biotecnología de la UNAM publicó un estudio sobre cómo las redes de raíces en Zea mays maximizan absorción usando patrones fractales para cubrir más suelo con menos biomasa.
La naturaleza no decora: ser fractal significa aprovechar al máximo el espacio y los recursos. Por eso, una rama de mezquite (Prosopis laevigata) en la Mixteca puede captar más luz y agua que si creciera siguiendo líneas rectas.
Pero, ¿es posible crear patrones fractales en casa? La respuesta está al alcance de una hoja de papel y unas tijeras.
Haz tu propio fractal: el copo de nieve de Koch
En una mesa de madera junto al mercado de La Merced, un niño dobla una hoja blanca bajo la mirada vigilante de su abuela. El papel cruje, las tijeras zumban. Así comienza el experimento clásico: construir el copo de nieve de Koch, uno de los primeros fractales matemáticos descritos en 1904 por Helge von Koch.
- Dibuja un triángulo equilátero de 9 cm de lado en una cartulina.
- Divide cada lado en tres partes iguales (3 cm cada una).
- Sobre el tercio central de cada lado, levanta un nuevo triángulo equilátero (también de 3 cm) hacia afuera.
- Repite el proceso en cada nuevo segmento recto. Cada iteración suma más picos y más longitud a la figura.
Materiales: cartulina rígida (puede encontrarse en papelerías del Centro Histórico), regla de 30 cm, lápiz y tijeras (costo total: menos de $40 MXN). El error más común: doblar el papel en vez de medir los tercios exactos, lo que distorsiona el patrón.
En 2010, la Sociedad Matemática Mexicana organizó talleres de fractales para niños usando este método. El resultado: figuras imposibles de medir con una regla común, superficies que crecen sin límites aunque ocupen muy poco espacio en la mesa.
El copo de Koch enseña en miniatura lo que las playas y los helechos gritan en silencio: medir la naturaleza con reglas antiguas no alcanza. Hace falta otro tipo de geometría.
La fractalidad en la tecnología y el error de pensar en líneas rectas
En el Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica (INAOE) en Puebla, los ingenieros diseñan antenas de telecomunicaciones usando patrones fractales. Una antena fractal puede captar múltiples frecuencias en un espacio menor. El laboratorio huele a estaño derretido y ozono de cables recién soldados.
La razón: una antena fractal de 12 cm, basada en el patrón de Sierpinski, puede cubrir el rango de frecuencias de 800 MHz a 2.5 GHz, útil en telefonía móvil y WiFi. En los laboratorios de la UNAM, se han impreso circuitos con ramificaciones fractales en placas de cobre desde 2018.
La fractalidad también aparece en algoritmos de compresión de imágenes y en diagnósticos médicos: en 2021, científicos del Instituto Nacional de Neurología y Neurocirugía usaron el análisis fractal para detectar daños tempranos en tejido cerebral tras accidentes cerebrovasculares.
El gran error, advierte el físico Jorge Reyes, es suponer que la tecnología moderna sigue líneas rectas y simples. “La naturaleza no hace líneas rectas. La vida y la información se mueven por caminos ramificados, irregulares. Entender eso cambia todo, desde cómo curar una herida hasta cómo transmitir un mensaje.”
Una playa que nunca termina: la fractalidad como pregunta abierta
Antes del mediodía, don Nico ha enrollado su cuerda tres veces y sigue sin poder medir la playa de Zipolite. La brisa le trae el aroma de las flores de icaco (Chrysobalanus icaco) y el murmullo del mar le recuerda que, aunque camine toda la costa, siempre quedará un pliegue sin medir.
En un aula de la Facultad de Ciencias de la UNAM, una profesora traza la silueta de la costa mexicana en el pizarrón. Los estudiantes, armados con reglas y calculadoras, se ríen al ver que el número crece sin parar. Alguien pregunta si alguna vez podrán conocer la longitud exacta.
La playa y el conjunto de Mandelbrot tienen algo en común: ambos abren una puerta al misterio. ¿Hasta dónde llega la geometría de la naturaleza? ¿Qué otras formas esperan ser descubiertas en los pliegues de una hoja, en el ramaje de un árbol, en la orilla imposible de una playa mexicana?
Si quieres explorar más, la exposición “Fractales: ciencia y arte” regresa al Museo Universum de la UNAM en septiembre de 2024. Lleva una lupa y una hoja de helecho: quizá ahí inicie el siguiente misterio.
Glosario
- Fractal
- Figura geométrica cuyos patrones se repiten a diferentes escalas, con una complejidad infinita dentro de un espacio finito.
- Conjunto de Mandelbrot
- Conjunto matemático que genera una imagen con bordes infinitamente complejos, usado para ilustrar la geometría fractal.
- Dimensión fractal
- Número no entero que describe la complejidad de una figura; indica cuán detallada es una forma entre una línea y una superficie.
- Paradoja de la costa
- Problema matemático que muestra que la longitud de una costa aumenta cuanto más pequeña es la unidad de medición utilizada.
- Copo de nieve de Koch
- Fractal clásico creado al modificar repetidamente los lados de un triángulo, produciendo una figura de perímetro infinito.
- Autosimilitud
- Propiedad de los fractales en la que una parte de la figura es una copia a escala de la totalidad.
- Algoritmo de Barnsley
- Método matemático para generar imágenes de helechos y otras formas naturales usando reglas fractales simples.